Apa itu fraktal: keindahan matematika dan tak terhingga

2024 Pengarang: Seth Attwood | [email protected]. Terakhir diubah: 2023-12-16 16:08

Fraktal telah dikenal selama satu abad, telah dipelajari dengan baik dan memiliki banyak aplikasi dalam kehidupan. Namun, fenomena ini didasarkan pada ide yang sangat sederhana: banyak bentuk, keindahan dan variasi yang tak terbatas, dapat diperoleh dari struktur yang relatif sederhana hanya dengan menggunakan dua operasi - penyalinan dan penskalaan.

Apa persamaan pohon, pantai, awan, atau pembuluh darah di tangan kita? Sepintas, tampaknya semua objek ini tidak memiliki kesamaan. Namun, pada kenyataannya, ada satu properti struktur yang melekat pada semua objek yang terdaftar: mereka serupa. Dari cabang, serta dari batang pohon, ada cabang yang lebih kecil, dari mereka - bahkan yang lebih kecil, dll., yaitu, cabang itu seperti seluruh pohon.

Sistem peredaran darah diatur dengan cara yang sama: arteriol berangkat dari arteri, dan dari mereka - kapiler terkecil di mana oksigen memasuki organ dan jaringan. Mari kita lihat citra satelit pantai laut: kita akan melihat teluk dan semenanjung; mari kita lihat, tetapi dari pandangan mata burung: kita akan melihat teluk dan tanjung; Sekarang mari kita bayangkan bahwa kita sedang berdiri di pantai dan melihat kaki kita: selalu ada kerikil yang menonjol ke dalam air lebih jauh dari yang lain.

Artinya, garis pantai tetap mirip dengan dirinya sendiri saat diperbesar. Ahli matematika Amerika (meskipun dibesarkan di Prancis) Benoit Mandelbrot menyebut properti objek fraktalitas ini, dan objek semacam itu sendiri - fraktal (dari bahasa Latin fractus - rusak).

Apa itu fraktal?

Konsep ini tidak memiliki definisi yang ketat. Oleh karena itu, kata "fraktal" bukanlah istilah matematika. Biasanya, fraktal adalah sosok geometris yang memenuhi satu atau lebih dari sifat-sifat berikut: • Memiliki struktur kompleks pada perbesaran berapa pun (sebagai lawan, misalnya, garis lurus, bagian mana pun yang merupakan bangun geometri paling sederhana - a segmen garis). • Apakah (kurang lebih) mirip dengan diri sendiri. • Memiliki dimensi Hausdorff (fraktal) pecahan, yang lebih besar dari dimensi topologi. • Dapat dibangun dengan prosedur rekursif.

Geometri dan Aljabar

Studi tentang fraktal pada pergantian abad ke-19 dan ke-20 agak episodik daripada sistematis, karena matematikawan sebelumnya terutama mempelajari objek "baik" yang dapat diteliti menggunakan metode dan teori umum. Pada tahun 1872, matematikawan Jerman Karl Weierstrass membuat contoh fungsi kontinu yang tidak dapat diturunkan di mana pun. Namun, konstruksinya sepenuhnya abstrak dan sulit dipahami.

Oleh karena itu, pada tahun 1904, orang Swedia Helge von Koch menemukan kurva kontinu, yang tidak memiliki garis singgung di mana pun, dan menggambarnya cukup mudah. Ternyata ia memiliki sifat fraktal. Salah satu varian kurva ini disebut "kepingan salju Koch".

Ide-ide kesamaan diri tokoh diambil oleh orang Prancis Paul Pierre Levy, mentor masa depan Benoit Mandelbrot. Pada tahun 1938, ia menerbitkan artikelnya "Kurva dan permukaan bidang dan spasial, terdiri dari bagian-bagian yang mirip dengan keseluruhan", yang menggambarkan fraktal lain - kurva Lévy C. Semua fraktal di atas dapat dikaitkan secara kondisional ke satu kelas fraktal konstruktif (geometris).

Kelas lain adalah fraktal dinamis (aljabar), yang mencakup himpunan Mandelbrot. Studi pertama ke arah ini dimulai pada awal abad ke-20 dan dikaitkan dengan nama matematikawan Prancis Gaston Julia dan Pierre Fatou. Pada tahun 1918, hampir dua ratus halaman memoar Julia, yang dikhususkan untuk iterasi fungsi rasional yang kompleks, diterbitkan, di mana himpunan Julia dijelaskan - seluruh keluarga fraktal yang terkait erat dengan himpunan Mandelbrot. Karya ini dianugerahi penghargaan Akademi Prancis, tetapi tidak mengandung satu ilustrasi pun, sehingga tidak mungkin untuk menghargai keindahan benda-benda yang ditemukan.

Terlepas dari kenyataan bahwa pekerjaan ini memuliakan Julia di antara ahli matematika saat itu, itu dengan cepat dilupakan. Baru setengah abad kemudian, komputer menjadi perhatian lagi: merekalah yang membuat kekayaan dan keindahan dunia fraktal terlihat.

Dimensi fraktal

Seperti yang Anda ketahui, dimensi (jumlah pengukuran) dari bangun geometris adalah jumlah koordinat yang diperlukan untuk menentukan posisi suatu titik yang terletak pada gambar ini.

Misalnya, posisi titik pada kurva ditentukan oleh satu koordinat, pada permukaan (tidak harus bidang) oleh dua koordinat, dalam ruang tiga dimensi oleh tiga koordinat.

Dari sudut pandang matematika yang lebih umum, Anda dapat menentukan dimensi dengan cara ini: peningkatan dimensi linier, katakanlah, dua kali, untuk objek (segmen) satu dimensi (dari sudut pandang topologi) mengarah ke peningkatan ukuran (panjang) dua kali, untuk dua dimensi (persegi) peningkatan yang sama dalam dimensi linier menyebabkan peningkatan ukuran (luas) sebesar 4 kali, untuk tiga dimensi (kubus) - sebanyak 8 kali. Artinya, dimensi "nyata" (disebut Hausdorff) dapat dihitung sebagai rasio logaritma peningkatan "ukuran" suatu objek dengan logaritma peningkatan ukuran liniernya. Yaitu untuk ruas D = log (2) / log (2) = 1, untuk bidang D = log (4) / log (2) = 2, untuk volume D = log (8) / log (2) = 3.

Mari kita sekarang menghitung dimensi kurva Koch, untuk konstruksi yang segmen unitnya dibagi menjadi tiga bagian yang sama dan interval tengah diganti dengan segitiga sama sisi tanpa segmen ini. Dengan peningkatan dimensi linier dari segmen minimum tiga kali, panjang kurva Koch meningkat pada log (4) / log (3) ~ 1, 26. Artinya, dimensi kurva Koch adalah pecahan!

Sains dan seni

Pada tahun 1982, buku Mandelbrot "The Fractal Geometry of Nature" diterbitkan, di mana penulisnya mengumpulkan dan mensistematisasikan hampir semua informasi yang tersedia pada waktu itu tentang fraktal dan menyajikannya dengan cara yang mudah dan dapat diakses. Dalam presentasinya, Mandelbrot membuat penekanan utama bukan pada rumus rumit dan konstruksi matematika, tetapi pada intuisi geometris pembaca. Berkat ilustrasi yang dihasilkan komputer dan kisah-kisah sejarah, yang dengannya penulis dengan terampil mencairkan komponen ilmiah monograf, buku itu menjadi buku terlaris, dan fraktal dikenal oleh masyarakat umum.

Keberhasilan mereka di antara non-ahli matematika sebagian besar disebabkan oleh fakta bahwa dengan bantuan konstruksi dan formula yang sangat sederhana yang dapat dipahami oleh siswa sekolah menengah, gambar kompleksitas dan keindahan yang luar biasa diperoleh. Ketika komputer pribadi menjadi cukup kuat, bahkan seluruh tren seni muncul - lukisan fraktal, dan hampir semua pemilik komputer dapat melakukannya. Sekarang di Internet, Anda dapat dengan mudah menemukan banyak situs yang didedikasikan untuk topik ini.

Perang dan damai

Seperti disebutkan di atas, salah satu objek alam yang memiliki sifat fraktal adalah garis pantai. Satu cerita menarik terkait dengannya, atau lebih tepatnya, dengan upaya untuk mengukur panjangnya, yang menjadi dasar artikel ilmiah Mandelbrot, dan juga dijelaskan dalam bukunya "Geometri Fraktal Alam".

Ini adalah eksperimen yang dilakukan oleh Lewis Richardson, seorang matematikawan, fisikawan, dan ahli meteorologi yang sangat berbakat dan eksentrik. Salah satu arah penelitiannya adalah upaya untuk menemukan deskripsi matematis tentang penyebab dan kemungkinan konflik bersenjata antara kedua negara. Di antara parameter yang dia perhitungkan adalah panjang perbatasan bersama kedua negara yang bertikai. Ketika dia mengumpulkan data untuk eksperimen numerik, dia menemukan bahwa dalam sumber yang berbeda data di perbatasan bersama antara Spanyol dan Portugal sangat berbeda.

Ini mendorongnya untuk menemukan hal berikut: panjang perbatasan suatu negara tergantung pada penggaris yang kita gunakan untuk mengukurnya. Semakin kecil skalanya, semakin panjang batasnya. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa dengan perbesaran yang lebih tinggi menjadi mungkin untuk memperhitungkan semakin banyak tikungan pantai, yang sebelumnya diabaikan karena kekasaran pengukuran. Dan jika, dengan setiap peningkatan skala, tikungan garis yang sebelumnya tidak terhitung akan terbuka, maka ternyata panjang batasnya tidak terbatas! Benar, pada kenyataannya ini tidak terjadi - keakuratan pengukuran kami memiliki batas yang terbatas. Paradoks ini disebut efek Richardson.

Fraktal konstruktif (geometris)

Algoritma untuk membangun fraktal konstruktif dalam kasus umum adalah sebagai berikut. Pertama-tama, kita membutuhkan dua bentuk geometris yang cocok, sebut saja mereka basis dan fragmen. Pada tahap pertama, dasar fraktal masa depan digambarkan. Kemudian beberapa bagiannya diganti dengan fragmen yang diambil pada skala yang sesuai - ini adalah iterasi pertama konstruksi. Kemudian, gambar yang dihasilkan kembali mengubah beberapa bagian menjadi gambar yang mirip dengan fragmen, dan seterusnya. Jika kita melanjutkan proses ini tanpa batas, maka pada batasnya kita mendapatkan fraktal.

Mari kita pertimbangkan proses ini menggunakan kurva Koch sebagai contoh. Sebagai dasar untuk kurva Koch, Anda dapat mengambil kurva apa pun (untuk "kepingan salju Koch" itu adalah segitiga). Tetapi kami akan membatasi diri pada kasus yang paling sederhana - sebuah segmen. Fragmen adalah garis putus-putus yang ditunjukkan di bagian atas pada gambar. Setelah iterasi pertama dari algoritma, dalam hal ini, segmen awal akan bertepatan dengan fragmen, kemudian masing-masing segmen penyusunnya akan digantikan oleh garis putus-putus, mirip dengan fragmen, dll. Gambar menunjukkan empat langkah pertama dari proses ini.

Dalam bahasa matematika: fraktal dinamis (aljabar)

Fraktal jenis ini muncul dalam studi sistem dinamik nonlinier (oleh karena itu namanya). Perilaku sistem tersebut dapat dijelaskan oleh fungsi nonlinier kompleks (polinomial) f (z). Ambil beberapa titik awal z0 pada bidang kompleks (lihat bilah sisi). Sekarang perhatikan barisan bilangan tak hingga pada bidang kompleks, masing-masing berikut diperoleh dari yang sebelumnya: z0, z1 = f (z0), z2 = f (z1),… zn + 1 = f (zn).

Tergantung pada titik awal z0, urutan seperti itu dapat berperilaku berbeda: cenderung tak terhingga sebagai n ->; konvergen ke beberapa titik akhir; mengambil sejumlah nilai tetap secara siklis; pilihan yang lebih kompleks juga dimungkinkan.

Bilangan kompleks

Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari dua bagian - nyata dan imajiner, yaitu jumlah formal x + iy (di sini x dan y adalah bilangan real). saya adalah apa yang disebut. satuan imajiner, yaitu bilangan yang memenuhi persamaan i ^ 2 = -1. Operasi matematika dasar didefinisikan di atas bilangan kompleks - penambahan, perkalian, pembagian, pengurangan (hanya operasi perbandingan yang tidak ditentukan). Untuk menampilkan bilangan kompleks, representasi geometris sering digunakan - pada bidang (disebut kompleks), bagian nyata diletakkan pada absis, dan bagian imajiner pada ordinat, sedangkan bilangan kompleks akan sesuai dengan titik dengan Cartesian koordinat x dan y.

Jadi, setiap titik z dari bidang kompleks memiliki karakter perilakunya sendiri selama iterasi fungsi f (z), dan seluruh bidang dibagi menjadi beberapa bagian. Dalam hal ini, titik-titik yang terletak pada batas bagian-bagian ini memiliki properti berikut: untuk perpindahan kecil yang sewenang-wenang, sifat perilakunya berubah secara tajam (titik-titik seperti itu disebut titik bifurkasi). Jadi, ternyata himpunan titik dengan satu jenis perilaku tertentu, serta himpunan titik bifurkasi, sering kali memiliki sifat fraktal. Ini adalah himpunan Julia untuk fungsi f (z).

Keluarga naga

Dengan memvariasikan basis dan fragmen, Anda bisa mendapatkan variasi fraktal konstruktif yang menakjubkan.

Selain itu, operasi serupa dapat dilakukan dalam ruang tiga dimensi. Contoh fraktal volumetrik adalah spons Menger, piramida Sierpinski dan lain-lain.

Keluarga naga juga disebut sebagai fraktal konstruktif. Kadang-kadang mereka disebut dengan nama penemunya "naga dari Highway-Harter" (dalam bentuknya mereka menyerupai naga Cina). Ada beberapa cara untuk memplot kurva ini. Yang paling sederhana dan paling intuitif adalah ini: Anda perlu mengambil selembar kertas yang cukup panjang (semakin tipis kertasnya, semakin baik), dan lipat menjadi dua. Kemudian tekuk dua kali lagi dengan arah yang sama seperti pertama kali.

Setelah beberapa kali pengulangan (biasanya setelah lima atau enam kali lipatan, strip menjadi terlalu tebal untuk ditekuk dengan rapi lebih lanjut), Anda perlu melepaskan strip ke belakang, dan mencoba membentuk sudut 90˚ pada lipatan. Kemudian kurva naga akan berubah menjadi profil. Tentu saja, ini hanya akan menjadi perkiraan, seperti semua upaya kami untuk menggambarkan objek fraktal. Komputer memungkinkan Anda untuk menggambarkan lebih banyak langkah dalam proses ini, dan hasilnya adalah sosok yang sangat indah.

Himpunan Mandelbrot dibangun dengan cara yang sedikit berbeda. Pertimbangkan fungsi fc (z) = z ^ 2 + c, di mana c adalah bilangan kompleks. Mari kita buat barisan fungsi ini dengan z0 = 0, tergantung pada parameter c, ia dapat menyimpang hingga tak terhingga atau tetap terbatas. Selain itu, semua nilai c yang dibatasi barisan ini membentuk himpunan Mandelbrot. Itu dipelajari secara rinci oleh Mandelbrot sendiri dan ahli matematika lainnya, yang menemukan banyak sifat menarik dari himpunan ini.

Terlihat bahwa definisi himpunan Julia dan Mandelbrot mirip satu sama lain. Sebenarnya, kedua set ini terkait erat. Yaitu, himpunan Mandelbrot adalah semua nilai dari parameter kompleks c di mana himpunan Julia fc (z) terhubung (satu set disebut terhubung jika tidak dapat dipecah menjadi dua bagian yang terputus-putus, dengan beberapa kondisi tambahan).

Fraktal dan kehidupan

Saat ini, teori fraktal banyak digunakan di berbagai bidang aktivitas manusia. Selain objek ilmiah murni untuk penelitian dan lukisan fraktal yang telah disebutkan, fraktal digunakan dalam teori informasi untuk mengompresi data grafik (di sini sifat kesamaan diri dari fraktal terutama digunakan - lagi pula, untuk mengingat sebagian kecil dari gambar dan transformasi yang dengannya Anda bisa mendapatkan bagian-bagian lainnya, memori yang dibutuhkan jauh lebih sedikit daripada untuk menyimpan seluruh file).

Dengan menambahkan gangguan acak ke rumus yang mendefinisikan fraktal, seseorang dapat memperoleh fraktal stokastik yang sangat masuk akal menyampaikan beberapa objek nyata - elemen relief, permukaan badan air, beberapa tanaman, yang berhasil digunakan dalam fisika, geografi, dan grafik komputer untuk mencapai hasil yang lebih besar. kesamaan objek simulasi dengan nyata. Dalam elektronika dihasilkan antena yang berbentuk fraktal. Mengambil sedikit ruang, mereka memberikan penerimaan sinyal yang cukup berkualitas tinggi.

Ekonom menggunakan fraktal untuk menggambarkan kurva nilai tukar mata uang (properti yang ditemukan oleh Mandelbrot). Ini mengakhiri perjalanan kecil ini ke dunia fraktal yang luar biasa indah dan beragam.