Bentuk Alam Semesta kita yang datar, bulat, atau hiperbolik?

2024 Pengarang: Seth Attwood | [email protected]. Terakhir diubah: 2023-12-16 16:08

Dalam pandangan kami, alam semesta tidak terbatas. Hari ini kita tahu bahwa Bumi memiliki bentuk bola, tetapi kita jarang memikirkan bentuk Alam Semesta. Dalam geometri, ada banyak bentuk tiga dimensi sebagai alternatif dari ruang tak terbatas yang "akrab". Penulis menjelaskan perbedaan dalam bentuk yang paling mudah diakses.

Melihat langit malam, tampaknya ruang angkasa berlangsung selamanya ke segala arah. Ini adalah bagaimana kita membayangkan Semesta - tetapi bukan fakta bahwa itu benar. Lagi pula, ada suatu masa ketika semua orang berpikir bahwa Bumi itu datar: kelengkungan permukaan bumi tidak terlihat, dan gagasan bahwa Bumi itu bulat tampaknya tidak dapat dipahami.

Hari ini kita tahu bahwa Bumi berbentuk bola. Tapi kita jarang berpikir tentang bentuk alam semesta. Saat bola menggantikan bumi datar, bentuk tiga dimensi lainnya menawarkan alternatif untuk ruang tak terbatas yang "akrab".

Dua pertanyaan dapat diajukan tentang bentuk alam semesta - yang terpisah tetapi saling terkait. Salah satunya adalah tentang geometri - perhitungan sudut dan luas yang teliti. Lain adalah tentang topologi: bagaimana bagian-bagian yang terpisah bergabung menjadi satu bentuk.

Data kosmologis menunjukkan bahwa bagian alam semesta yang terlihat halus dan homogen. Struktur lokal ruang terlihat hampir sama di setiap titik dan di setiap arah. Hanya tiga bentuk geometris yang sesuai dengan karakteristik ini - datar, bulat, dan hiperbolik. Mari kita lihat bentuk-bentuk ini secara bergantian, beberapa pertimbangan dan kesimpulan topologi berdasarkan data kosmologis.

Alam semesta datar

Sebenarnya, ini adalah geometri sekolah. Sudut-sudut suatu segitiga berjumlah 180 derajat, dan luas lingkaran adalah r2. Contoh paling sederhana dari bentuk tiga dimensi datar adalah ruang tak terbatas biasa, matematikawan menyebutnya Euclidean, tetapi ada opsi datar lainnya.

Tidak mudah membayangkan bentuk-bentuk ini, tetapi kita dapat menghubungkan intuisi kita dengan berpikir dalam dua dimensi, bukan tiga. Selain bidang Euclidean biasa, kita dapat membuat bentuk datar lainnya dengan memotong sepotong bidang dan merekatkan tepinya. Katakanlah kita memotong selembar kertas persegi panjang dan merekatkan ujung-ujungnya yang berlawanan dengan selotip. Jika Anda merekatkan tepi atas ke tepi bawah, Anda mendapatkan silinder.

Anda juga dapat merekatkan tepi kanan ke kiri - lalu kami mendapatkan donat (ahli matematika menyebut bentuk ini torus).

Anda mungkin akan keberatan: "Ada yang tidak terlalu datar." Dan Anda akan benar. Kami sedikit curang tentang torus datar. Jika Anda benar-benar mencoba membuat torus dari selembar kertas dengan cara ini, Anda akan mengalami beberapa kesulitan. Sangat mudah untuk membuat silinder, tetapi tidak akan berhasil untuk merekatkan ujungnya: kertas akan kusut di sepanjang lingkaran dalam torus, tetapi itu tidak akan cukup untuk lingkaran luar. Jadi Anda harus mengambil beberapa jenis bahan elastis. Tetapi peregangan mengubah panjang dan sudut, dan karenanya seluruh geometri.

Mustahil untuk membangun torus fisik yang benar-benar mulus dari bahan datar di dalam ruang tiga dimensi biasa tanpa mendistorsi geometri. Masih berspekulasi secara abstrak tentang bagaimana rasanya hidup di dalam torus datar.

Bayangkan Anda adalah makhluk dua dimensi yang alam semestanya berbentuk torus datar. Karena bentuk alam semesta ini didasarkan pada selembar kertas datar, semua fakta geometris yang biasa kita gunakan tetap sama - setidaknya dalam skala terbatas: sudut segitiga bertambah hingga 180 derajat, dan seterusnya. Namun dengan perubahan topologi global melalui trimming dan gluing, kehidupan akan berubah drastis.

Untuk memulainya, torus memiliki garis lurus yang berputar dan kembali ke titik awal.

Pada torus yang terdistorsi, mereka terlihat melengkung, tetapi bagi penghuni torus datar, mereka tampak lurus. Dan karena cahaya merambat lurus, maka jika Anda melihat langsung ke segala arah, Anda akan melihat diri Anda dari belakang.

Seolah-olah, pada selembar kertas asli, cahaya melewati Anda, pergi ke tepi kiri, dan kemudian muncul kembali di kanan, seperti dalam video game.

Inilah cara lain untuk memikirkannya: Anda (atau seberkas cahaya) melintasi salah satu dari empat sisi dan menemukan diri Anda berada di ruangan baru, tetapi sebenarnya itu adalah ruangan yang sama, hanya dari sudut pandang yang berbeda. Berkeliaran melalui alam semesta seperti itu, Anda akan menemukan salinan ruangan asli dalam jumlah tak terbatas.

Ini berarti bahwa Anda akan mengambil salinan diri Anda dalam jumlah tak terbatas ke mana pun Anda melihat. Ini adalah semacam efek cermin, hanya salinan ini yang tidak sepenuhnya memantulkan.

Pada torus, masing-masing sesuai dengan satu atau lain loop, di mana cahaya kembali kepada Anda.

Dengan cara yang sama, kita mendapatkan torus tiga dimensi datar dengan menempelkan sisi berlawanan dari kubus atau kotak lainnya. Kami tidak akan dapat menggambarkan ruang ini di dalam ruang tak terbatas biasa - itu tidak akan cocok - tetapi kami akan dapat berspekulasi secara abstrak tentang kehidupan di dalamnya.

Jika kehidupan dalam torus dua dimensi seperti deretan dua dimensi tak berujung dari kamar persegi panjang identik, maka kehidupan dalam torus tiga dimensi seperti deretan tiga dimensi tak berujung dari kamar kubik identik. Anda juga akan melihat salinan Anda sendiri dalam jumlah tak terbatas.

Torus tiga dimensi hanyalah satu dari sepuluh varian dunia datar terbatas. Ada juga dunia datar tak terbatas - misalnya, analog tiga dimensi dari silinder tak terbatas. Masing-masing dunia ini akan memiliki "ruang tawa" sendiri dengan "refleksi".

Mungkinkah alam semesta kita menjadi salah satu bentuk datar?

Ketika kita melihat ke luar angkasa, kita tidak melihat salinan kita sendiri dalam jumlah tak terbatas. Bagaimanapun, menghilangkan bentuk datar tidak mudah. Pertama, mereka semua memiliki geometri lokal yang sama dengan ruang Euclidean, sehingga tidak mungkin untuk membedakannya dengan pengukuran lokal.

Katakanlah Anda bahkan melihat salinan Anda sendiri, gambar jauh ini hanya menunjukkan bagaimana Anda (atau galaksi Anda secara keseluruhan) tampak di masa lalu yang jauh, karena cahaya telah datang jauh sampai mencapai Anda. Mungkin kita bahkan melihat salinan kita sendiri - tetapi berubah tanpa bisa dikenali. Selain itu, salinan yang berbeda berada pada jarak yang berbeda dari Anda, jadi mereka tidak sama. Dan selain itu, sangat jauh sehingga kita masih tidak akan melihat apa-apa.

Untuk mengatasi kesulitan-kesulitan ini, para astronom biasanya tidak mencari salinan diri mereka sendiri, tetapi untuk mengulangi fitur-fitur dalam fenomena yang terlihat paling jauh - radiasi latar gelombang mikro kosmik, ini adalah peninggalan Big Bang. Dalam praktiknya, ini berarti mencari pasangan lingkaran dengan pola titik panas dan dingin yang cocok - diasumsikan sama, hanya dari sisi yang berbeda.

Para astronom melakukan pencarian seperti itu pada tahun 2015 berkat Teleskop Luar Angkasa Planck. Mereka mengumpulkan data tentang jenis lingkaran kebetulan yang kami harapkan dapat dilihat di dalam torus 3D datar atau bentuk 3D datar lainnya - yang disebut piring - tetapi mereka tidak menemukan apa pun. Ini berarti bahwa jika kita benar-benar hidup dalam torus, maka torus itu tampak begitu besar sehingga setiap fragmen berulang berada di luar alam semesta yang dapat diamati.

Bentuk bulat

Kami sangat akrab dengan bola dua dimensi - ini adalah permukaan bola, oranye, atau Bumi. Tetapi bagaimana jika alam semesta kita adalah bola tiga dimensi?

Menggambar bola tiga dimensi itu sulit, tetapi mudah untuk menggambarkannya dengan analogi sederhana. Jika bola dua dimensi adalah kumpulan semua titik pada jarak tetap dari beberapa titik pusat dalam ruang tiga dimensi biasa, bola tiga dimensi (atau "trisphere") adalah kumpulan semua titik pada jarak tetap dari beberapa titik pusat dalam ruang empat dimensi.

Kehidupan di dalam trisfer sangat berbeda dengan kehidupan di ruang datar. Untuk memvisualisasikannya, bayangkan Anda adalah makhluk dua dimensi dalam bola dua dimensi. Bola dua dimensi adalah seluruh Alam Semesta, oleh karena itu Anda tidak dapat melihat ruang tiga dimensi yang mengelilingi Anda dan tidak dapat masuk ke dalamnya. Di alam semesta berbentuk bola ini, cahaya bergerak melalui jalur terpendek: dalam lingkaran besar. Tapi lingkaran ini tampak lurus bagi Anda.

Sekarang bayangkan Anda dan teman 2D Anda sedang nongkrong di Kutub Utara, dan dia pergi jalan-jalan. Bergerak menjauh, pada awalnya secara bertahap akan berkurang dalam lingkaran visual Anda - seperti di dunia biasa, meskipun tidak secepat yang biasa kita lakukan. Ini karena seiring bertambahnya lingkaran visual Anda, teman Anda semakin sedikit menggunakannya.

Tetapi begitu teman Anda melintasi khatulistiwa, sesuatu yang aneh terjadi: dia mulai bertambah besar, meskipun sebenarnya dia terus menjauh. Ini karena persentase yang mereka tempati di lingkaran visual Anda meningkat.

Tiga meter dari Kutub Selatan, teman Anda akan terlihat seperti berdiri tiga meter dari Anda.

Setelah mencapai Kutub Selatan, itu akan memenuhi seluruh cakrawala Anda yang terlihat.

Dan ketika tidak ada seorang pun di Kutub Selatan, cakrawala visual Anda akan menjadi lebih aneh lagi - itu Anda. Ini karena cahaya yang Anda pancarkan akan menyebar ke seluruh bola sampai kembali.

Ini secara langsung mempengaruhi kehidupan di alam 3D. Setiap titik trisfer memiliki kebalikannya, dan jika ada objek di sana, kita akan melihatnya di seluruh langit. Jika tidak ada apa-apa di sana, kita akan melihat diri kita sendiri di latar belakang - seolah-olah penampilan kita ditumpangkan pada balon, kemudian dibalik dan digelembungkan ke seluruh cakrawala.

Tetapi meskipun trisfer adalah model dasar untuk geometri bola, itu jauh dari satu-satunya ruang yang mungkin. Saat kami membangun model datar yang berbeda dengan memotong dan merekatkan potongan-potongan ruang Euclidean, jadi kami dapat membangun yang bulat dengan menempelkan potongan-potongan trisphere yang sesuai. Masing-masing bentuk yang direkatkan ini, seperti torus, memiliki efek "ruang tawa", hanya jumlah ruangan dalam bentuk bola yang terbatas.

Bagaimana jika alam semesta kita berbentuk bola?

Bahkan yang paling narsis dari kita tidak melihat diri kita sebagai latar, bukan langit malam. Tetapi, seperti dalam kasus torus datar, fakta bahwa kita tidak melihat sesuatu sama sekali tidak berarti bahwa itu tidak ada. Batas-batas alam semesta berbentuk bola bisa lebih besar dari batas-batas dunia yang terlihat, dan latar belakangnya sama sekali tidak terlihat.

Namun tidak seperti torus, alam semesta berbentuk bola dapat dideteksi menggunakan pengukuran lokal. Bentuk bola berbeda dari ruang Euclidean tak terbatas tidak hanya dalam topologi global, tetapi juga dalam geometri kecil. Misalnya, karena garis lurus dalam geometri bola adalah lingkaran besar, ada segitiga yang "gemuk" daripada yang Euclidean, dan jumlah sudutnya melebihi 180 derajat.

Pada dasarnya, mengukur segitiga kosmik adalah cara utama untuk memeriksa seberapa melengkung alam semesta. Untuk setiap titik panas atau dingin pada latar belakang gelombang mikro kosmik, diameter dan jaraknya dari Bumi, yang membentuk tiga sisi segitiga, diketahui. Kita dapat mengukur sudut yang dibentuk oleh titik di langit malam - dan ini akan menjadi salah satu sudut segitiga. Kita kemudian dapat memeriksa apakah kombinasi panjang sisi dan jumlah sudutnya sesuai dengan geometri planar, bola, atau hiperbolik (di mana jumlah sudut segitiga kurang dari 180 derajat).

Sebagian besar perhitungan ini, bersama dengan pengukuran kelengkungan lainnya, mengasumsikan bahwa alam semesta benar-benar datar atau sangat dekat dengannya. Satu tim peneliti baru-baru ini menyarankan bahwa beberapa data 2018 dari Teleskop Luar Angkasa Planck berbicara lebih mendukung alam semesta berbentuk bola, meskipun peneliti lain berpendapat bahwa bukti yang disajikan dapat dikaitkan dengan kesalahan statistik.

Geometri hiperbolik

Tidak seperti bola yang menutup dengan sendirinya, geometri hiperbolik atau ruang dengan kelengkungan negatif terbuka ke luar. Ini adalah geometri topi bertepi lebar, terumbu karang, dan pelana. Model dasar geometri hiperbolik adalah ruang tak terbatas, sama seperti Euclidean datar. Tetapi karena bentuk hiperbolik mengembang jauh lebih cepat daripada yang datar, tidak ada cara untuk memasukkan bahkan bidang hiperbolik dua dimensi ke dalam ruang Euclidean biasa, jika kita tidak ingin mendistorsi geometrinya. Tapi ada gambar terdistorsi dari bidang hiperbolik yang dikenal sebagai piringan Poincaré.

Dari sudut pandang kami, segitiga di dekat lingkaran batas tampaknya jauh lebih kecil daripada di dekat pusat, tetapi dari sudut pandang geometri hiperbolik, semua segitiga adalah sama. Jika kita mencoba menggambarkan segitiga-segitiga ini dengan ukuran yang benar-benar sama - mungkin menggunakan bahan elastis dan menggembungkan setiap segitiga secara bergantian, bergerak dari tengah ke luar - piringan kita akan menyerupai topi bertepi lebar dan akan semakin menekuk. Dan saat Anda semakin dekat ke perbatasan, lengkungan ini akan lepas kendali.

Dalam geometri Euclidean biasa, keliling lingkaran berbanding lurus dengan jari-jarinya, tetapi dalam geometri hiperbolik, lingkaran tumbuh secara eksponensial relatif terhadap jari-jarinya. Tumpukan segitiga terbentuk di dekat batas piringan hiperbolik

Karena fitur ini, matematikawan suka mengatakan bahwa mudah tersesat di ruang hiperbolik. Jika teman Anda menjauh dari Anda dalam ruang Euclidean normal, dia akan mulai menjauh, tetapi agak perlahan, karena lingkaran visual Anda tidak tumbuh begitu cepat. Dalam ruang hiperbolik, lingkaran visual Anda mengembang secara eksponensial, sehingga teman Anda akan segera menyusut menjadi titik kecil yang tak terhingga. Jadi, jika Anda belum mengikuti rutenya, Anda tidak mungkin menemukannya nanti.

Bahkan dalam geometri hiperbolik, jumlah sudut sebuah segitiga kurang dari 180 derajat - misalnya, jumlah sudut beberapa segitiga dari mosaik piringan Poincaré hanya 165 derajat.

Sisi-sisinya tampak tidak langsung, tetapi itu karena kita melihat geometri hiperbolik melalui lensa yang terdistorsi. Untuk penghuni piringan Poincaré, kurva ini sebenarnya adalah garis lurus, jadi cara tercepat untuk pergi dari titik A ke titik B (keduanya di tepi) adalah melalui pemotongan ke tengah.

Ada cara alami untuk membuat analog tiga dimensi dari piringan Poincaré - ambil bola tiga dimensi dan isi dengan bentuk tiga dimensi, yang secara bertahap berkurang saat mereka mendekati bola batas, seperti segitiga pada piringan Poincaré. Dan, seperti halnya bidang dan bola, kita dapat membuat seluruh ruang hiperbolik tiga dimensi lainnya dengan memotong bagian yang sesuai dari bola hiperbolik tiga dimensi dan menempelkan wajahnya.

Nah, apakah Semesta kita hiperbolik?

Geometri hiperbolik, dengan segitiga sempit dan lingkaran yang tumbuh secara eksponensial, sama sekali tidak seperti ruang di sekitar kita. Memang, seperti yang telah kita catat, sebagian besar pengukuran kosmologis condong ke arah alam semesta yang datar.

Tetapi kita tidak dapat mengesampingkan bahwa kita hidup di dunia yang bulat atau hiperbolik, karena pecahan kecil dari kedua dunia terlihat hampir datar. Misalnya, jumlah sudut segitiga kecil dalam geometri bola hanya sedikit lebih dari 180 derajat, dan dalam geometri hiperbolik hanya sedikit lebih kecil.

Itulah sebabnya orang dahulu berpikir bahwa Bumi itu datar - kelengkungan Bumi tidak terlihat dengan mata telanjang. Semakin besar bentuk sferis atau hiperbolik, semakin rata setiap bagiannya, oleh karena itu, jika Alam Semesta kita memiliki bentuk sferis atau hiperbolik yang sangat besar, bagian yang terlihat sangat dekat dengan datar sehingga kelengkungannya hanya dapat dideteksi dengan instrumen ultra-presisi, dan kami belum menemukannya. …